Sélection de lettres
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    [Manuscrit autographe] (affichée) | |||||
Ms. 880, f. 15-16
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    [Imprimé 1980] | |||||
Leonhard Euler, Opera Omnia, série IV A, vol. 5, p. 297-299
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Euler Leonhard (Berlin) à D'Alembert (Paris)
f. 15rMonsieur,
J'espere que Vous aures bien reçu ma derniere lettre, dont Mr. de Maupertuis a eu la bonté de se charger : celle-cy Vous sera remise par Mr. Battier mon Cousin et Membre de notre Academie, qui ayant le dessein de s'appliquer de toutes ses forces aux mathematiques à Paris, m'a fort prié de lui procurer l'honneur de Votre connoissance. Comme je suis bien seur que Vous le trouverés digne de Votre affection, j'espere que Vous ne me saures pas mauvais gré de cette recommendation et que Vous ne lui refuseres point le secours de Vos lumieres, dont il aura besoin dans la poursuite de ses etudes mathematiques.
J'ai consideré dernierement la courbe \(AM\), qui etant rapportée à l'axe \(CQ\) perpendiculaire à la droite donnée \(AC = 1\), a cette proprieté que l'appliquée \(QM = u\) qui repond à l'abscisse \(CQ = t\), est egale à l'arc \(AQ\) d'un quart de l'ellipse dont les deux demi-axes sont \(AC = 1\) et \(CQ = t\). On voit d'abord que si \(CQ = t\) evanouït, alors l'appliquée \(QM = u\) devient \(= CA = 1\), de sorte que la courbe \(AM\) sera à peu près semblable à une hyperbole équilaterale dont le centre est en \(C\) : car elle aura aussi f. 15v des aymptotes qui passent par le point \(C\), et qui font un angle demi-droit avec \(CA\). Il n'est pas difficile d'exprimer la nature de cette courbe par une équation differentio-differentielle, qui supposant l'element \(dt\) constant, sera \(\frac{ddu}{dt^2}=\frac{(1+tt)du}{t(1-tt)dt}-\frac{u}{1-tt}\). De là il semble d'abord qu'il ne sera pas difficile d'exprimer la valeur de \(u\) par une telle series \(u=1+Att+Bt^4+Ct^6+Dt^8+\textrm{etc}.\) mais Vous verres avec bien de la surprise, que tous ces coefficiens \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), etc. deviennent infinis. Quoique cette équation ne serve de rien pour la connoissance de cette courbe, il s'ensuit de là, que le rayon de la developpée de cette courbe en \(A\) est infiniment petit. Mais je voudrois voir l'equation entre les coordonnées \(AP = x\) et \(PM = y\), qui exprimât seulement la nature d'une portion infiniment petite de la courbe auprès de \(A\). Cette équation aura une telle forme \(y=\alpha x^n\) selon Vos remarques, et puisque la tangente en \(A\) est perpendiculaire à l'abscisse \(AP\), il sera \(n < 1\), et puisque la courbure en \(A\) est infiniment grande il y aura \(n >\frac{1}{2}\) ; mais quelque Valeur entre ces deux limites, que Vous ne donnies à \(n\) elle ne satisfera jamais à l'équation differentio-differentielle. En voicy donc un cas bien étrange, dont je suis curieux de voir si Votre solution sera d'accord avec la mienne.
J'ai l'honneur d'être avec la plus parfaite consideration
Monsieur
Votre très humble et très obeïssant serviteur
L. Euler
Berlin ce 27 Dec 1748
46.08  |  3 août 1746
D'Alembert à Euler Leonhard
46.12  |  2 octobre 1746
Euler Leonhard à D'Alembert
46.15  |  29 décembre 1746
Euler Leonhard à D'Alembert
47.01  |  6 janvier 1747
D'Alembert à Euler Leonhard
47.02  |  29 janvier 1747
D'Alembert à Euler Leonhard
47.03  |  24 mars 1747
D'Alembert à Euler Leonhard
47.04  |  15 avril 1747
Euler Leonhard à D'Alembert
47.05  |  26 [mai] 1747
D'Alembert à Euler Leonhard
47.06  |  19 août 1747
Euler Leonhard à D'Alembert
47.07  |  [septembre-octobre 1747]
D'Alembert à Euler Leonhard
47.09  |  30 décembre 1747
Euler Leonhard à D'Alembert
48.01  |  20 janvier 1748
D'Alembert à Euler Leonhard
48.02  |  15 février 1748
Euler Leonhard à D'Alembert
48.03  |  30 mars 1748
D'Alembert à Euler Leonhard
48.05  |  17 juin 1748
D'Alembert à Euler Leonhard
48.08  |  7 septembre 1748
D'Alembert à Euler Leonhard
48.09  |  28 septembre 1748
Euler Leonhard à D'Alembert
48.10  |  27 octobre 1748
D'Alembert à Euler Leonhard
48.14  |  27 décembre 1748
Euler Leonhard à D'Alembert
49.03  |  12 mai 1749
D'Alembert à Euler Leonhard
49.07  |  20 juillet 1749
D'Alembert à Euler Leonhard
50.01  |  3 janvier 1750
Euler Leonhard à D'Alembert
50.05  |  22 février 1750
D'Alembert à Euler Leonhard
50.07  |  7 mars 1750
Euler Leonhard à D'Alembert
50.08  |  30 mars 1750
D'Alembert à Euler Leonhard
50.15  |  [fin 1750]
Euler Leonhard à D'Alembert
51.01  |  4 janvier 1751
D'Alembert à Euler Leonhard
51.10  |  29 juin 1751
Euler Leonhard à D'Alembert
51.15  |  10 septembre 1751
D'Alembert à Euler Leonhard
63.44  |  20 juillet 1763
D'Alembert à Euler Leonhard
63.50  |  26 juillet 1763
Euler Leonhard à D'Alembert
63.53  |  29 juillet 1763
D'Alembert à Euler Leonhard
63.60  |  14 août [1763]
D'Alembert à Euler Leonhard
63.69  |  20 août 1763
D'Alembert à Euler Leonhard
63.86  |  [20 décembre 1763]
Euler Leonhard à D'Alembert
64.15  |  16 mars 1764
D'Alembert à Euler Leonhard
64.29  |  25 juin 1764
D'Alembert à Euler Leonhard
66.09  |  3 mars 1766
D'Alembert à Euler Leonhard
66.22  |  28 avril 1766
D'Alembert à Euler Leonhard
73.32  |  27 février [1773]
D'Alembert à Euler Leonhard